二进制计算

虽然很早就接触了二进制,却一直没有正视这个问题,阅读《计算机科学导论》的时候,基本上是跳过了这一部分,总是以“这么基础的东西,反正工作中基本用不上”的理由给搪塞过去。最近正在阅读《编码》和《程序员的数学思维修炼》,心想终究还是得面对的,于是记录了一点笔记,希望不再回避letcode上关于二进制计算的题目。

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10对于我们来讲是一个很平常但又十分神奇的数字。根据《编码》上面的解释,人类的双手非常适合数数,因而我们早已经适应了以10为基础的数字系统。也正是这个习惯,让我在刚接触二进制的时候,感到无比困惑,明明十分简单的概念,却始终不得要领。 十进制中以0-9这十个数码进行组合来表示数字,且赋予10的整数次幂重大的意义:十,百,千,万,亿... 那么,什么是二进制呢?

1. 概念

二进制就是使用01这两个数码进行组合来表示数字的一种计数方法。 计算机使用二进制的主要优点有:

  • 技术实现简单,计算机的逻辑电路只需要表示两个状态(电路的断开与连接),使用1和0表示就够了;如果使用十进制,则只能依靠电压的高低进行区分,这无疑会大大增加技术实现的难度
  • 运算规则简单,二进制的运算规则比十进制少了很多(不需要在文具盒上背诵加法表乘法表了),规则少意味着能够简化计算机的内容结构
  • 适合逻辑运算,计算机不仅需要进行算术运算,还需要进行逻辑元素,二进制只有两个数码,恰好与逻辑代数中的真和假完全吻合!

2. 算术运算

2.1. 四则预算

2.1.1. 加

逢二进一

跟十进制的加法一样,只是进位从10变成了2,这是第一个需要认清的问题

// 加法表
0 + 0 = 0;
1 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 1; // 进位1

比如计算111 + 101,从右往左利用基本规则进行计算

  • 第一位(从右往左的顺序)1 + 1 = 0;,进位1,
  • 第二位原本是1 + 0,由于进位变成了1 + 1 = 0,继续进位1,
  • 第三位原本是1 + 1 = 0并进位1,由于进位继续计算0 + 1 = 1,未再次进位
  • 最后结果1100

好吧,我放弃用语言描述这个过程了,老老实实拿笔在纸上算两次就好了,实际上跟十进制没有任何区别,只是需要背诵的加法表缩短为仅仅四条了(考虑到加法交换率,实际上只有3条)!

2.1.2. 减

借一当二

// 减法表
0 - 0 = 0;
1 - 1 = 0;
1 - 0 = 1;
0 - 1 = 1; // 借位为1

比如计算111 - 101,最后结果10

2.1.3. 乘

与十进制相比(九九八十一种),二进制的乘法要简单得多(只有四种),只有1 * 1 = 1,其余全为0

// 乘法表
0 * 0 = 0;
0 * 1 = 0;
1 * 0 = 0;
1 * 1 = 1;

运算过程也与十进制类似,用第二个乘数的每位依次乘以第一个乘数,最后运用加法规则将结果相加,就得到了两个二进制数的乘积,可以理解为:“0乘以任何数都等于0,而1乘以任意数都等于乘数本身”。 乘法实际上可以看作是加法与移位的操作,如111 * 101可转换为111 + 0000 + 11100 = 100011

2.1.4. 除

// 除法表
0 / 0 = 0; // 无意义
1 / 0 = 0; // 无意义
0 / 1 = 0;
1 / 1 = 1;

除法可以使用试商法进行,先从被除数的最高位开始,将被除数(或中间余数)与除数相比较,若被除数(或中间余数)大于除数,则用被除数(或中间余数)减去除数,商为1,并得相减之后的中间余数,否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位,重复以上过程,就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

除法实际上可以看作减法和移位的操作。如:111/101 = 1 余 10

2.2. 与十进制的转换

2.3. 二进制转十进制

虽然只有0和1两个数码,但是在位置化数字系统中,数码所处的位置不同(位置被称为),其代表的实际数据大小也不相同。如1101,在二进制中:

  • 第一个1表示1的个数
  • 第二个0表示2的个数
  • 第三个1表示4的个数
  • 第四个1表示8的个数

好吧,实际上这儿又被带进坑了。更准确的说法是2的0次幂,2的1次幂,2的2次幂,2的3次幂的个数,只是2的2次幂用十进制表示是4,2的3次方幂用十进制表示是8罢了。

可见,只需要计算1*1 + 2*0 + 4*1 + 8*1,就可以二进制转换成十进制的数字了,结果显而易见13。其他二进制转十进制同理。 实际上这种转换方式并不是二进制独有的,其他进制转10进制也可以采用同样的方法,只需要将基数2转换成对应进制的基数就行了。

2.4. 十进制转二进制

十进制转二进制看起来要麻烦一点,通常采用“除2取余,逆序排序的方法”。比如将数字23转换为二进制表示的过程可如下表示:

  • 23/2 = 11...1
  • 11/2 = 5...1
  • 5/2 = 2...1
  • 2/2 = 1...0
  • 最后结果逆序排序表示为1,0,1,1,1,所以23的二进制表示为10111;

上述过程用代码展示应该要清晰一些

function ten2bin(n){
    if (n == 0){
        return 0;
    }

    var res = "";
    while(n){
        res = n%2 + res;
        n = Math.floor(n/2);
    }
    return res;
}

3. 逻辑运算

计算机不仅执行算术运算,也可以执行逻辑运算。在逻辑代数中,只有两种逻辑值,这跟二进制中的仅有的两个数码10完全吻合。下面整理了关于逻辑运算的一些东西

3.1. 基本逻辑运算

逻辑运算中,"与"、"或"、"非"是三种最基本的运算规则。

3.1.1. 与

使用&&表示运算,参与运算的所有逻辑代数必须全部为真,整个结果才为真。 在电路中表示就是:所有串联的开关必须全部闭合,灯泡才会通电。

1 && 1 = 1
1 && 0 = 0
0 && 1 = 0
0 && 0 = 0

发现没,"与"规则表跟二进制算术运算中的乘法是一模一样的哦!

3.1.2. 或

使用||表示运算,参与运算的所有逻辑代数只要有一个为真,整个结果就为真。 在电路中表示就是:所有并联的开关只要有一个闭合,灯泡就会通电。

1 || 0 = 1
1 || 1 = 1
0 || 1 = 1
0 || 0 = 0

同样地,"或"运算规则表跟二进制算术运算中的加法基本一样(逻辑运算中不存在进位的说法)。

3.1.3. 非

使用!表示运算,整个逻辑表达式的结果与逻辑代数相反 在电路中表示就是:如果开关闭合,则灯泡被短路;开关断开,灯泡通电

!1 = 0
!0 = 1

3.2. 复杂逻辑运算

"与"、"或"、"非"是三种最基本的运算规则,其他复杂的逻辑运算都可以用基本运算组合而成。

  • 与非,运算中所有的逻辑代数都为真,则结果为假,!(a && b && c)
  • 或非,运算中只要有一个逻辑代数为真,则结果为假,!(a || b || c)
  • 异或,运算中的两个逻辑代数,有一个为真且另一个为假时,则结果为真,(a&&!b) || (!a && b)
  • 同或,运算中的两个逻辑代数,都为真或者都为假时,则结果为真,(a && b) || (!a && !b)

4. 位运算

大部分高级编程语言都提供了按位操作数字的功能。这一点似乎有些不合理,在日常生活中的计算都是按照某个数字具体代表的值来进行计算的。但是在计算机中,操作数字的某个特定位是很有意义的。下面我们来学习位运算。

4.1. 位逻辑运算符

位逻辑运算符与逻辑运算符有很大的区别:

  • 位逻辑运算符只操作位(位上的数码只可能是0或者1)
  • 逻辑运算符操作的是真或者假,这是由整个变量的值所决定的

4.1.1. 位反

按位取反也叫做二进制反码,使用~表示,指将操作数全部位中的1变成0,将每个0变成1

~1011) 
=0100

按位取反有个小技巧:a取反加一,再取反加一,还等于a 。更通俗一点将,如果操作数为-1,则按位取反结果为0。 这一点很有用处,很多接口都使用-1来表示程序未返回预期结果,比如JavaScript中的indexOf(),此时可以使用~idx来判断,比起idx === -1要好不少(看起来)。

4.1.2. 位与

二进制运算符与&通过对两个操作数逐位进行比较,对于每个位置,只有对应的位都为1时,结果对应位置的值才为1,否则为0

  1010
& 1100
= 1000

位于通常用来实现掩码。

4.1.3. 位或

二进制运算符或|通过对两个操作数逐位进行比较,对于每个位置,只要任意一个操作数对应位为1时,结果对应位置的值就为1,否则为0

  1010
& 1100
= 1110

4.1.4. 位异或

二进制运算符异或^通过对两个操作数逐位进行比较,对于每个位置,只要任意一个操作数对应位为1时,另一个位置为0,结果对应位置的值就为1。

  1010
^ 1100
= 0110

4.2. 移位运算符

移位运算符将位向左或向右移动。了解移位运算应当首先了解整数的存储形式,在C语言中,一个int类型的整数占4个字节,而通常一个字节包括8个位,即一个整数包含32位。移位运算就是移动整个操作数在32个位中的位置。

二进制中的移位运算类似于十进制中的移动小数点的操作,从而快速进行乘除法。

4.2.1. 左移运算符

左移运算符<<将其左侧操作数的值的每位向左移动,移动的位数由右侧操作数指定,空出的位由0填充,并丢弃移出左侧操作数左端的位(如果溢出的话)。

    1010 << 2
= 101000 

在不溢出的情况下,左移n位会将操作数扩大2^n倍。

4.2.2. 右移运算符

右移运算符将其左侧操作数的值的每位向右移动,并丢弃移出左侧操作数右端的数(肯定会移出的)

  1010 >> 1
=  101    

5. 八进制与十六进制

使用二进制存储数据带来的问题是:二进制数字的位数增长十分迅速,保存一个不是很大的数字就需要很长的位数。可见二进制并不适合在计算机外部保存数字,因此产生了八进制和十六进制

5.1. 八进制

八进制使用0~7这八个数码来表示数字,由于2^3 = 8,因此二进制和八进制的转换十分方便。 从二进制转八进制,只需要从右往将三个二进制分为一组(最左不足可用0填充),然后计算为对应的八进制数码,最后将结果拼接在一起就可以了。比如101110

  • 将整个数字分为101110
  • 101计算结果为2^2 + 1 = 5,110计算结果为2^2 + 2^1 = 6
  • 所以101110用八进制表示为56

同理,从八进制转二进制也十分简单,将八进制数字每位拆分成一个三个为二进制数(不足用0填充),然后将结果拼接在一起,比如76用二进制表示为111110,过程这里就不详细写了。

5.2. 十六进制

十六进制使用0~9A~F这十六个数码来表示数字。由于2^4 = 16,加之有了八进制与二进制的相互转换规律,十六进制与二进制的相互转换就轻而易举了,无非是将二进制数按4个一组进行划分,或者将一个十六进制数码转换成4位二进制数

  • F2二进制表示为11110010
  • 101101十六进制表示为2D

6. 小结

关于二进制的运算先到这里了,另外还有浮点数等知识,先留个坑了。

history与单页面应用路由 NodeJS中的http模块